La geometria delle relazioni

Daniele Durante

Provate a pensare di essere in una stanza in cui si trova tutta la popolazione mondiale—non è poca, siamo più di 7 miliardi di persone—e immaginate di chiedere solo a chi vi conosce direttamente di alzarsi. A meno che non siate particolarmente popolari, potreste aspettarvi di trovare in piedi qualche centinaio di persone. Se però decideste di ripetere questo esperimento altre cinque volte, chiedendo sempre a chi si trova seduto in quel momento di alzarsi se conosce almeno una delle persone attualmente in piedi, allora finireste quasi sicuramente per far alzare tutti. Si chiama teoria dei sei gradi di separazione e sostanzialmente ci dice che chiunque al mondo potrebbe entrare in contatto con qualsiasi altra persona tramite una catena fatta da non più di sei ponti relazionali. Ci sarà cioè quasi sicuramente un amico, dell’amico, dell’amico, dell’amico di un vostro amico che vi può mettere in contatto con chiunque vogliate sulla terra.

E’ un risultato sorprendente che, per come nasce, ci colloca tutti molto più vicini. Una sorta di small world—è così che viene definito nella Scienza delle reti—regolato non più dai metri o chilometri che ci separano, ma da una nuova idea di distanza, quasi astratta, misurata dal numero di ponti (gradi di separazione) che dovremmo attraversare in questo spazio di relazioni per poterci conoscere. Potrà sembrare un concetto un po’ astratto, apparentemente lontano, ma a pensarci è proprio in questo spazio che si muove una buona parte della nostra vita. Grazie agli sviluppi tecnologici, l’unico vincolo che ci impedisce oggi di interagire è, infatti, il più scontato a cui possiamo pensare: non conoscerci in prima persona. Per questo motivo, studiare i dati di rete è diventato sempre più importante, e la Statistica gioca un ruolo chiave. Quali sarebbero, ad esempio, le nostre posizioni in questo spazio astratto dove le distanze si misurano in gradi di separazione? Conoscerle, ci aiuterebbe a capire comportamenti sistematici e strutture nascoste che, ad una prima analisi, ci sfuggono? La risposta è sì, e molti esempi possono essere trovati nelle reti sociali, cerebrali e dei trasporti.

La domanda, quindi, sorge spontanea. Come trovare le nostre posizioni nella geometria nascosta delle connessioni? Se non fossimo connessi, non vorremo certamente trovarci vicini in questo spazio astratto. Allo stesso modo, se connessi ma lontani, tenderemo ad attrarci fino ad avvicinarci. Quindi come fare? Semplicemente trasformando la rete in un sistema fatto di forze di attrazione e repulsione. Provate, ad esempio, a tornare nella stanza in cui si trova tutta la popolazione mondiale e trasformate questi individui in particelle con la stessa carica così che, se avvicinati e non connessi, tenderanno a respingersi. Oltre a questo, inserite una molla tra chi si conosce direttamente, in modo tale da attrarli qualora si trovassero lontani nella stanza. A questo punto lasciate muovere le persone in questo spazio finché le forze opposte di repulsione ed attrazione non si annulleranno. Quando questo sarà successo, avrete creato un sistema stabile—ovvero a minima energia—in cui le posizioni delle persone saranno coerenti con le distanze misurate dai gradi di separazione. Ad un occhio attento questo non è altro che un problema di minimizzazione di una funzione (l’energia) secondo un sistema complesso di incognite (le posizioni delle persone nello spazio delle relazioni). La soluzione non sarà altro che l’insieme di coordinate alle quali è associata l’energia più bassa.

Quello appena raccontato è uno dei tanti metodi utilizzati in Statistica per proiettare le diverse reti che osserviamo attorno a noi in un nuovo sistema di coordinate capace di rivelare strutture nascoste. Si tratta infatti di trasformare l’informazione—tipicamente molto complessa—fornita da un sistema di connessioni, in una rappresentazione riassuntiva capace di fornire nuova conoscenza.

Alcuni esempi possono essere trovati in questo TEDx talk:

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